闭集（closed set）是一种特殊的集合，它是指
补集为开集的集合。在度量空间以及拓扑空间均有相应的定义。
在19世纪70年代，
德国数学家
格奥尔格·康托尔（Cantor）对任意元素的集合进行了研究，提出了无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础。他在1874年引入基数概念，证明了
超越数大大多于
代数数，随后，他提出了“
连续统假设”，定义了序型、超限
序数概念，以及聚点、开集、闭集等概念，为一般拓扑学的发展开辟了道路。
闭集还可以通过聚点与附贴点来描述，同时，它与导集、闭包的概念相关。度量空间以及拓扑空间中的闭集具有一些基本性质。在拓扑空间中，开集与闭集的差集是开集，闭集与开集的差集是闭集；在度量空间中，任意多个闭集的交仍为闭集，有限多个闭集的并仍为闭集。由这些性质可以引出一些具体的实例。
闭集可以从一般拓扑学推广至模糊拓扑学，其中闭集可以用来刻画分离性和模糊仿紧性。此外，在工程学中，闭集的稳定性与脉冲轨的拟稳定性、回复性、
吸引子等有关，对系统的稳定性和极限集映射的连续性有着重要影响。
定义
闭集是指
补集为开集的集合，在度量空间以及拓扑空间中都有定义。
度量空间中
设为度量空间，对任意的，，称为开球（open sphere），其中，称为球心（center of a sphere），称为半径（radius）。
（1）开球通常称为的邻域（
Neighborhood）。
（2）设，若存在>0，使得则称为集合的内点（interior point）。
（3）若集合的所有点都是内点，则称其为开集（open set）。
闭集：如果集合的补集是开集，则称集合为闭集。
拓扑空间中
度量空间作为拓扑空间时，球形邻域族是该拓扑空间的一个拓扑基。
在拓扑空间中，
子集的内点与内部，闭集、子集的聚点与闭包，收敛点列的极限，稠密集。疏朗集、纲等概念的定义均可仿照度量空间的同名概念的定义得到，为此，只须在相应的同名概念的定义中把“度量空间”改为“拓扑空间”，同时把“球形邻域”改为“邻域”即可。
设是非空集，是某些子集所成的集族。如果满足条件：
（1）和在中；
则称为集合的一个拓扑，称为一个拓扑空间，的成员称为的闭集。
历史
集合论于16世纪末产生，但在当时，人们为了建立
微积分学的理论基础，只对其中的数集进行研究。在19世纪70年代，
德国数学家
格奥尔格·康托尔（Cantor）对任意元素的集合进行了研究，提出了无限集的势、序型等的概念，奠定了集合论的理论基础。他在1874年引入基数概念，证明了
超越数大大多于
代数数，但也遭到某些数学家的反对。随后，他提出了“
连续统假设”，定义了序型、超限
序数概念，以及聚点、开集、闭集等概念，为一般拓扑学的发展开辟了道路。他在1895年首先给出集合的描述：一组确定的彼此不同的具有相似性质的对象组成的整体称为集合，而组成集合的每一个对象就叫做集合的元素。
相关概念
附贴点
定义：设是的一个
子集，是内的一个点，未必在内。如果每个球都至少包含的一个点，那么称为的一个附贴点。
例：
（1）如果，则附贴于，因为每个球都包含。
（2）如果是的一个有上界的子集，则附贴于。
有些点附贴于是由于每个球都含有的异于的点，这些点称为聚点。
闭集与附贴点具备这样的联系：中的集合是闭集， 当且仅当它包含它的全部附贴点。
证明：假定是闭集，令是的附贴点，要证明。假定，将会推出矛盾。如果，则。因为是开集，所以有某个球位于内。于是不包含的任何点，这同附贴于的事实矛盾。
为了证明逆命题，假定包含它所有的附贴点，要证明是闭集。假定，则，所以不附贴于。 于是有某个球不与相交，从而，所以是开集，由此知是闭集。
聚点
定义：设，如果每个球至少包含的一个与不同的点，则称为的聚点。
换句话说，是的一个聚点，当且仅当附贴于。如果但不是的聚点，则称为的孤立点。
例：
（1）由形如的数组成的集合以为聚点。
（3）闭区间的每一个点都是由开区间内的数组成的集合的聚点。
定理： 如果是的聚点，则每一个球都包含的无穷多个点。
证明：假定情况是相反的，也就是说，假定存在一个球只包含的有限个异于的点，比如如果表示正数中最小的一个，则将是一个关于的球，它不包含的异于的点，这是一个矛盾。这个
定理特别地隐含着这样的结论：一个集合除非它从一开始就含有无穷多个点，否则它就不可能有聚点。然而，它的逆命题一般来说是不对的。例如，整数集就是一个没有聚点的无限集。
闭包
定义：由集合的全部附贴点组成的集合称为的闭包，记为。
对于任何集合都有，因为的每个点都附贴于。由闭集与附贴点的关系表明，相反的结论当且仅当是闭集时成立。因此闭集与闭包具备这样的联系：集合是闭集，当且仅当。
或用另一种证明方法：
先证充分性，设为闭集，则所以，。
再证必要性，设，则，所以，为闭集。
导集
定义：由集合的全部聚点组成的集合称为的导集，记为。
对任一集合成立。由闭集与闭包的关系可知是闭集当且仅当换句话说，闭集与聚点的联系：内的集合是闭集， 当且仅当它包含它的全部聚点。
闭集与闭包、导集的关系：任意一个集合的导集和闭包都是闭集。
性质
度量空间中
性质1：闭球是闭集，空集以及空间本身也都是闭集，中一条直线是闭集。
性质2：任意多个闭集的交仍为闭集，任意多个开集的并仍为开集。
证明：设集，其中均为闭集。设，若x是F的极限点，则它的任意邻域必包含集F的无限多个点，故必包含所有中任一个集的无限多个点（因为），所以x为每一的极限点，由于为闭集，故（对一切成立），因而。这就证明了任意多个（有限多个或无限多个）闭集的
交集仍为闭集。
性质3：有限多个开集的交仍为开集，有限多个闭集的并仍为闭集。
证明：设有闭集，它们的
并集。为了要证明是闭集，必须证明任何极限点，即只要证是某一个的极限点就够了（因为是闭集，极限点必属于它因而也属于），可以用反证法：若不是所有的极限点，则存在邻域，它不包含中任何异于的点（其中），取中最小的一个（因它们的个数是有限的，所以必定存在），它不包含中异于的任何点，这与是的极限点相矛盾。这就证明了是闭集。
值得注意的是，无限多个开集的交不一定是开集，无限多个闭集的并不一定是闭集。例如， 。
性质4：在度量空间中，闭集可以描述为包含它的所有的极限点的集合，即，在度量空间中，，集合是闭的，当且仅当对于的每一个收敛于点的点列，都有。
证明：首先设是闭的。假定，，。需证明就会导出矛盾，是开的，因此，和一起就意味着有一个正整数，使得时，。这就与假定，，相矛盾。
反之，假设是这样的一个集合，对于其中有，，的每一个点列都有。需证明是闭的，或者等价地证明是开的。如果不是开的，那么一定有一点，使得对于的每一个邻域，。特别是，，。于是，有一个点列使得，且，那么由集合的已经假定的性质导出这个矛盾。因此是开的，是闭的。
拓扑空间中
性质5：开集与闭集的差集是开集，闭集与开集的差集是闭集。
证明：设是开集，是闭集。。因为是闭集，所以是开集。从而，是开集，同理，是闭集。
性质6：设是拓扑空间的拓扑子空间，则有为中闭集存在的闭集使。
证明：为中闭集为中开集存在的开集使存在的闭集使，从而。
性质7：若是拓扑空间中的闭集，是一个连续映射，那么是中的闭集。
相关示例
例1：取则或都是的内点。取，聚点为，但。取，聚点为，而。则为开集，为闭集，与有相同的界点，均为和。
例2：以为中心，为半径的闭球是中的闭集。
例3：是闭集；既不是开集也不是闭集。空集和既是开集也是闭集。对于两个闭集、 ，也是闭集，而它们的
交集是空集。此外和也是闭集。
例4：都是中的闭集。
例5：说明任意多个开集的交集可能是闭集， 说明任意多个闭集的
并集可能是开集。
例6：中的闭区间是闭集。个一维闭区间的笛卡儿积是中的闭集，称为维闭区间。
应用
工程学
类似于连续动力系统，在脉冲动力系统中，闭集的稳定性同样是一个极为重要的性质，它与脉冲轨的拟稳定性、回复性、
吸引子等诸多概念和性质有着密切的联系。而作为脉冲动力系统中一类特殊闭集的极限集，其稳定性又与相应的极限集映射的连续性有着密切联系。关于脉冲动力系统稳定性的研究大多集中在轨道的稳定性上，而脉冲系统中有关极限集局部稳定性与相应集值映射连续性间关系的研究成果尚不多见。
推广
定义
算子：设是，。算子：定义为，。
闭集：设是，。称为中的闭集，若，中的全体闭集记以。
集：设是，，，称为集。
远域：设是，，，，称为的远域，若，的全体远域记作。
闭集可以用来刻画分离性和模糊仿紧性。
性质
设是，。算子有如下性质：，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
设是，，闭集具有如下性质：
（1）若，则，，即；
（2），；
（3），。