连续统假设（continuum hypothesis）是关于连续统基数的假设。其最早版本的表述为：实数的每个无穷子集或者是可数的，或者与连续统等势。

1878年，德国数学家格奥尔格·康托尔（Cantor,G.F.P.）在《数学杂志》撰文提出了连续统问题，他认为的任何无穷子集要么可数，要么具有的势，该假设记为CH。他后来在《关于无穷线性点集（6）》中，证明了假设的一种特殊情形。1900年，戴维·希尔伯特（David Hillbert）在国际数学家会议上的讲演中提出了数学领域中尚未解决的23个重大课题，连续统假设问题被列为第一名，所以它也被称为“希尔伯特第一问题”，他还试图用证明论的原则解决连续统问题，但其证明引发了争议。后来，数学家库尔特·卡塞雷斯（Goedel）和沃尔特·科恩（P.J.Cohen）的一些工作成果推进了连续统假设的研究。1938年，哥德尔证明了从公理集合论的ZFC系统推不出连续统假设的否定，即连续统假设与ZFC系统是相容的。1963年7月，科恩创造了力迫法，证明了连续统假设和ZFC系统是相对独立的。结合哥德尔和科恩的结果，连续统假设在ZF系统中是不可判定的。

连续统假设可以用基数的形式表示出来，即。同时，该假设还具有多种其他的等价形式，由它可以推出许多重要的数学结论，如存在实数集的一个不可数集，它的每个连续像的测度为零。将连续统假设进行推广，可得到广义连续统假设GCH，它可以应用于幂运算的简化。在连续统问题的探索中，许多新方法被发现和创造，这为集合论增添了新内容，对整个数学基础研究起了巨大的推动作用。

连续统问题：是否有一个实数的无穷子集，它既不能与有一一对应，也不能与有一一对应？这就是“连续统问题”的表述之一。

最早版本的连续统假设：实数的每个无穷子集或者是可数的，或者与连续统等势，简记为CH。

1878年，德国数学家格奥尔格·康托尔尔（Cantor,G.F.P.）在《数学杂志》撰文提出了连续统问题，即除了自然数集的势和实数集的势，的无穷子集是否还有其他的势。他认为结论是否定的，即的任何无穷子集要么可数，要么具有的势，这就是康托尔的连续统假设，记为CH。1884年，在康托尔发表的《关于无穷线性点集（6）》中，康托尔完成了在解决连续统假设征途上的第一大进展，他证明了连续统假设的一种特殊情形：中的任何闭子集或为可数或与连续统等势。后来，格奥尔格·康托尔曾宣布他已经证明了连续统假设，但最终发现原来的证明有错误而未公布，直至临终前都没能解决这一难题。

进入20世纪，连续统问题的影响力逐渐扩大。1900年，希尔伯特（David Hillbert）在国际数学家会议上的著名讲演中，提出了数学领域中尚未解决的23个重大课题，连续统假设问题被列为第一名，所以也称它为“希尔伯特第一问题”。1925年6月4日，希尔伯特在明斯特发表题为《论无限》的著名演讲，在这篇文章中，他试图用证明论的原则解决连续统问题。然而他的证明是框架式的，论证不甚严密且有错误论断，不久就遭到了批评。弗兰克尔（A.Fraenkel) 指出，希尔伯特其实并未证明连续统假设，只是指出了连续统假设相容性的一种可能的证明。

1938年，库尔特·卡塞雷斯（Goedel）在他的文章《选择公理和广义连续统假说的相容性》中，除了证明了广义连续统假设相对于ZF的相容性，同时也表达了这样一个观点：集合的直观概念是模糊的，不允许我们判定连续统假设的真假。哥德尔证明了从公理集合论的ZFC系统推不出连续统假设的否定，即连续统假设与ZFC系统是相容的。在哥德尔的结果之后，人们希望能够从ZF系统内证明连续统假设。1963年7月，美国数学家沃尔特·科恩（P.J.Cohen）创造了威力极大的力迫法，解决了相反的问题，他证明了从 ZFC 推不出连续统假设。这就说明了连续统假设和ZFC系统是相对独立的。同时，科恩还证明了如果ZF系统是相容的，选择公理和连续统假设都独立于这个公理系统，即从ZF系统不能推出选择公理和连续统假设。结合库尔特·卡塞雷斯在1938年建立的相对相容性，这就证明了连续统假设在ZF系统中是不可判定的。

定义：彼此等价的所有集合的共同特征的标志称为基数。有限集合的基数称为自然数。

对于集合和，如果，则称的基数等于的基数，记为；如果，则称的基数不大于的基数，记为；如果，且的基数不等于的基数，则称的基数小于的基数，记为。

联系：1891年，格奥尔格·康托尔证明了任何一个集合的幂集（即它的一切子集构成的集合）的基数都大于这个集合的基数。 通常用表示自然数集的基数，用表示实数集合（连续统）的基数。康托尔证明了，他猜测实数集与它的每个不可数子集等势。即不存在基数，满足，这一猜测被后人称为连续统假设。由于，，连续统假设可等价地表示为，是后继基数。

（1）平面上所有的点的集合是两个集合的并，其中一个集合在所有与轴平行的直线上至多是可数的，另一个集合在轴的所有平行线上至多是可数的。

（2）平面是可数条曲线的并。

（3）存在着实函数的单叶函数序列，使得对于任意的不可数的实数集合，序列中除去有穷个函数外，所有的函数都映为全体实数集合。

（4）存在一簇集合（其中为自然数，为实数）使得

（5）存在实变数函数序列，使得对于任意的实数序列，以及每个，至多除去可数个值（它依赖于序列），对应地有一个无穷递增的指标序列（依赖于和序列），使得等式。

（6）存在一个线性解析集合，它不是少于个波雷耳可测集的并集合。

（7）全体实数集是可数个递增的集合的并。

（8）在希尔伯特空间中，存在一个不可数的点集，它的每个不可数子集不能同胚于欧几里得空间的一部分。

（9）连续统假设等价于下述命题和的合取：

：每一个，,是第一范畴集；

：存在一，，且和每一无处稠密集的交是至多可数的。

（10）连续统假设等价于下述命题和的合取：

：基数比小的实数子集测度为零；

：存在，，且和测度为零的集合的交是至多可数的。

由连续统假设可以推出许多重要结论：

（1）存在实数集的一个不可数子集，它和的每一个无处稠密集合的交集至多是可数的。

（2）存在实数集的一个不可数集，它的每个连续像的测度为零。

（3）在的一个不可数子集上，存在一个连续函数，使得它在的任一不可数子集上不是一致连续的。

（4）存在一些实数集，在它们上面存在类、类、类的贝尔函数，但在每个集上不存在类贝尔函数。

谢尔宾斯基（Siepinski）对于连续统假设持肯定态度，在接受广义连续统假设的前提下证明了许多重要结论，其中包括选择公理。尽管仍有少部分数学家不接受选择公理，但发现新的公理证明广义连续统假设，从而证明选择公理，无疑具有重大意义。

库尔特·卡塞雷斯：在《康托的连续统问题是什么?》中，哥德尔对连续统假设抱着否定的态度，对它的否证依赖于在ZF中添加更强大的公理，而探求这样的新的公理则是连续统假设给人的任务，这样的新的公理的提出将最终证明或者否证连续统假设。

武丁：1985年，武丁（Woodin）假设ZFC+存在任意大的可测的武丁基数，那么ZFC+CH是对命题完备的。也就是说，连续统假设可能确实是三阶算术中具有代表性的问题，若直接将连续统假设作为公理，就可以得到对完备的理论。这可以视作对连续统假设来自外在性辩护的有利证据，但尚不足以令人断定连续统假设成立。事实上，连续统假设的否定也可以获得类似的外在性辩护。另一种观点认为，武丁对连续统假设的解答是一个非常复杂的功利主义论点，它更多地基于一般绝对性的可取性，而不是理论的内容。

费弗曼：数学家费弗曼（Solomon Feferman）认为连续统假设不是一个确定的数学问题。即使在的水平上，在其表述中使用的任意集和函数的概念本质上也是不确定的。如果一个命题相对于任何被证明的公理集而言是不可判定的，那么它就是绝对不可判定的，但绝对不可判定的概念似乎假定所讨论的陈述具有明确的数学意义，因此具有明确的真值。而连续统假设是否具有明确的数学意义也是一个问题，连续统假设是集合论语言中的一个确定陈述，无论是正式的还是非正式的，它只与有关，这种语言涉及的概念在数学实践中很少被用到。

蔻尼：连续统问题是要求回答连续统的势应该在无穷基数的无穷序列的哪个位置上，到目前为止还没有一个肯定的回答。蔻尼（Konig）在研究无穷基数的运算时，得出了蔻尼不等式，此不等式虽然不能说明应该等于什么，但是从它的推论可以得知不能等于无穷序列中的某些值，这是对的限制性结果。在数学中，这类限制性结果虽然没有直接解决问题，但是它仍然很重要。

哈姆金斯：如果ZFC公理都是一致的，那么连续统假设既不能被证明，也不能被集合论中通常的ZFC公理所反驳。然而，事实证明连续统假设和连续统假设的否定在集合论的任何模型上都是强制的，这远远超出了单纯的独立性。

定理：宇宙具有强制扩展

(1)，不坍缩任何基数，使得。

(2) ，不添加新实数，使得。

从这个意义上说，集合理论的每个模型都非常接近与连续统假设相反答案的模型。由于连续统假设和连续统假设的否定很容易被强制，连续统假设就像一个灯开关，可以通过移动到更大的强迫扩展来打开和关闭。例如，新宇宙与原始宇宙拥有相同的大基数。经过几十年的经验和研究，集合论专家现在对如何在不同的集合理论模型中实现连续统假设或其否定有了深刻的理解——以无数种方式强迫它或它的否定，同时控制其他集合理论的性质。

1908年，德国数学家恩斯特·策梅洛（Zermelo,E.F.F.）提出了一个公理系统，恩斯特·策梅洛最初建立了7条集合论公理和相关定理，弗兰克尔（Fraenkel,A.A.）对公理进行了修改，斯克伦（Skolem,A.T.）补充了替换公理模式和正则公理，进而形成了著名的ZF系统。该公理系统包括外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、子集公理、无穷公理、替换公理模式和正则公理，再加上选择公理，就得到了ZFC公理系统。

选择公理（交点唯一定理）：设是由互不相交的非空集合构成的非空集合，则存在集合，使得为单点集。

联系：1936-1939年间，库尔特·卡塞雷斯提出并证明了选择公理和广义连续统假设相对于ZF的相容性，在这一过程中创造了“可构成集”的模型，并且还证明了从公理集合论的ZFC系统推不出连续统假设的否定，即连续统假设与ZFC系统是相容的。1963年，科恩证明了连续统假设和选择公理对于ZF公理系统是独立的，即它们不能以ZF公理系统为基础加以证明。

粗略地说，大基数公理是一个断言，即具有某种性质的基数存在，而且人们能够证明只有非常大的基数才能具有性质。这样的的例子是：不可达性和可测性。是不可达的，如果是正则的并且蕴涵。是可测的，如果存在一个势为的集合，以及定义在的所有子集上的函数，只取和为值，，在单元集合上是，，并且如果对每个以及的基数，那么。

联系：大基数公理可以判定许多自然的独立问题，但它仍旧无法证明连续统假设。大基数公理趋向于是绝对的，如果它们在ZFC的一个模型中为真，那么它们在该模型的科恩扩张中就趋向于真。这命题可以更精确地陈述如下：一个模型的科恩扩张是由的一个元素生成的，是中的一个偏序。科恩扩张相对于的一个基数是温和的，如果的基数在中为真。在相对于为温和的科恩扩张下，的所有标准大基数的性质都保持不变。另一方面，连续统假设的真值可能由于科恩扩张而有所改变，在那里，在中有非常小的基数。这意味着，对于一个大基数公理A，如果存在ZFC+A的模型，那么就存在ZFC+A+CH的模型以及ZFC+A+非CH的模型。然而，大基数公理在给出广义连续统假设的部分结果方面已取得成功。一个紧致基数的存在，蕴涵对所有充分大的奇异强极限基数（即奇异基数使得蕴涵），成立。

猜想内容： 集合与直线上所有点的集合大小相同，因此集合被称为连续统。有这样一个问题：是否存在大于且小于的集合？格奥尔格·康托尔推测没有中间大小，这种猜想被称为连续统假设。更一般地说，对于任意无穷集，没有集合的大小介于和之间，这个猜想被称为广义连续统假设。

康托尔（Cantor,G.F.P.）提出的连续统猜想可以表述为如下形式：

（CH）

进一步推广，对任意序数，都有

（GCH）

这个命题称为广义连续统假设，通常记作GCH。

如果广义连续统假设GCH成立，则可以将基数的幂运算简化如下：

定理：令，为无穷基数，同时假设广义连续统假设成立，则

在数学的发展过程中，人们很早就认识到有穷和无穷具有质的不同。但在相当长的时间里，数学家们并未意识到“无穷”之间的不同，格奥尔格·康托尔引进了基数和序数的概念，用来比较“无穷”中的大小，提出了著名的“连续统假设”。连续统假设问题，虽然到目前为止仍未得到最后结论，但就其所取得的重大进展来看，对整个数学基础研究起了巨大的推动作用，并且在哲学上具有重要意义。

（1）几何学：一旦证明了连续统假设和连续统假设的否定都成立，可以连想到几何学中的平行公理（第五公设）和否定的第五公设，由于否定的第五公设的发现，导致非欧几里得几何的产生。设想如果连续统假设和连续统假设的否定都成立，那么在通常的集合论公理中加上连续统假设所构成的集合论称为“康托集合论”，在通常的集合论公理中加上连续统假设的否定所构成的另一种集合论，可称之为“非康托集合论”。非欧几何的创立，在整个数学内部引起了深刻的变革，促进了几何学和形式化公理方法的发展。

（2）逻辑学：库尔特·卡塞雷斯和科恩的工作成果问世后，大大促进了数理逻辑的发展。科恩原创的“力迫法”可视为古典逻辑中一般概念（句式的有效性）再作布尔代数的推广。科恩的关于独立性证明提出以后，许多数学家和逻辑学家致力于连续统假设的独立性问题的研究。

（3）哲学：两千多年来，数学的发展同哲学紧密相关，同时对哲学产生重要影响，促进了哲学的发展。连续统假设问题也同数学基础某些分支相类似，涉及带有根本性质的哲学问题。连续统假设在现有公理集合论中是无法证明的。那么，何处寻找能够判定这一命题的新公理；找到后又如何去论证这些公理是可以接受的？后者实际上就是数学基础的哲学问题。