黎曼曲面（英文：Riemann surface）是复分析的基本概念之一。它通常具有两种含义：一是一个给定的多值函数实现单值化的曲面，二是一个连通的一维复流形。

黎曼曲面概念的形成与椭圆积分理论有关。18世纪开始，数学家法尼亚诺（G. F. Fagnano）、莱昂哈德·欧拉（L. Euler）推导得出椭圆积分的加法公式，尼尔斯·亨利克·阿贝尔（N. H. Abel）对其进行了推广，但在当时，人们对于复变函数固有的多值性问题还存在困扰。1851年，德国数学家黎曼（G. F. B. Riemann）从几何的角度上研究阿贝尔积分，论证了复变函数可导的充分必要条件（即奥古斯丁-路易·柯西—黎曼方程），阐述了黎曼映射定理，在他的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中首次提出了黎曼曲面的几何概念。1857年，黎曼在论文《阿贝尔函数的理论》中，对概念从拓扑、分析、代数几何各角度进行了系统研究，深入阐述了他的理论。1882年，梅兰妮·克莱茵（F. Klein）出版了他的小册子《关于黎曼代数函数及其积分的理论》，提出了“黎曼面在前，函数在后”的基本思想。1913年，赫尔曼·外尔（H. Weyl）在他的著作《黎曼曲面的概念》中首次采用流形来定义黎曼曲面，并说明它是一个一维的复解析流形。

黎曼曲面具有许多实例，如复平面、二值函数等。代数函数可表示黎曼曲面，它具有非紧性、没有奇点等基本性质。黎曼曲面可分为三类：椭圆型、双曲型、抛物型。与伯恩哈德·黎曼曲面相关的定理有单值化定理、黎曼—罗赫定理等，其中单值化定理描述了黎曼曲面的共形等价性质，是黎曼曲面理论的基本定理。此外，黎曼曲面在现实世界中具有广泛的应用价值，如在工程技术领域，通过检验黎曼曲面的因果性可以进行电液伺服阀动态特性的分析，帮助提升整个控制系统的精度与稳定性。

黎曼曲面是一种类似于曲面的结构，可形象地理解为用多个（通常是无限个）“薄片”来覆盖复平面而形成的结构。代数中，多值的全纯函数在复平面中通常不好定义，可以使用黎曼曲面的抽象定义进行表述。

抽象定义：设为具有可数拓扑基的（即具有豪斯多夫性质）的拓扑空间，如果存在的开覆盖以及每个开集上的连续映射，且满足如下条件：

（1）为中的开集，为同胚；

（2）如果，则转换映射为复平面开集之间的全纯映射；

则称为黎曼曲面。

其中开覆盖称为局部坐标覆盖，称为一个坐标邻域，称为该坐标邻域上的坐标映射。

紧黎曼曲面：紧致、连通、可定向的实二维流形称为紧黎曼曲面，它同胚于有个环柄的球面，环柄数是拓扑不变量，称为紧黎曼曲面的亏格。

闭黎曼曲面：没有边界的紧黎曼曲面（紧致连通二维实流形）称为闭黎曼曲面。

黎曼曲面概念的形成与椭圆积分理论有关。18世纪开始，数学家法尼亚诺（G. F. Fagnano）和莱昂哈德·欧拉（L. Euler）推导得出椭圆积分的加法公式。然而，人们对于仅求出积分的数值并不满足，19世纪初，尼尔斯·亨利克·阿贝尔（N. H. Abel）在将加法公式中的“积分的和”的现象提炼出来，得到比椭圆积分更广的一类积分，引发了理论的研究热潮。但当时，阿贝尔积分和椭圆函数的理论还在被微积分时代的繁琐运算所包围，人们对于复变函数固有的多值性问题还存在困扰。

1851年，德国数学家黎曼（Riemann）从几何的角度上研究阿贝尔积分，论证了复变函数可导的充分必要条件（即奥古斯丁-路易·柯西—黎曼方程），阐述了黎曼映射定理，在他的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中首次提出了黎曼曲面的几何概念。他认为，复变函数不应只是定义在通常平直的复平面上，而应该定义在可以“拓展到许多叶”的曲面上。为此，他为每一个多值复变代数函数都构造了一个曲面，用以代替通常的复平面，使得在这个新曲面上原来多值的代数函数变成了容易处理的单值函数，即为黎曼曲面。三年后，黎曼在哥廷根市做了著名的演讲《关于几何基础的假设》，提出用流形的概念理解空间的实质，用导数弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念。1857年，黎曼在其论文《阿贝尔函数的理论》中，对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度进行了系统研究，深入阐述了他的理论。

黎曼的思想影响着函数论的发展，诺依曼（C. Neumann）在1865年的《关于黎曼的阿贝尔积分的理论讲义》中给出了分支点的生动图示。1882年，菲利克斯·克莱因（F. Klein）出版了他的小册子《关于黎曼代数函数及其积分的理论》，提出了“黎曼面在前，函数在后”的基本思想。20世纪以后，点集拓扑学和代数拓扑学逐渐发展起来，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）充分吸收克莱因等人的思想，用新的拓扑和分析的语言重新整理和阐述了黎曼曲面的基本理论。在他的书籍《黎曼曲面的概念》中，外尔首次采用流形来定义黎曼曲面，通过一系列的公理化概念抽象地定义了二维拓扑流形，并说明黎曼曲面是一个一维的复解析流形。

（1）复平面本身是一种黎曼曲面。

（2）扩充复平面也是黎曼曲面，局部参数邻域及局部参数映照取为

，

这里，映照为是一一解析的。

（3）单位球面是黎曼曲面。跟复平面不同的是，作为黎曼曲面，的坐标覆盖中至少要有两个开集，即它是一个非平凡紧致的单连通黎曼曲面。

（4）函数 是一个无穷多值函数，并且如果其存在域是由复平面去掉负实轴后所剩下的区域，则在域内可定义函数的无穷多个分枝，并将相应的无穷个平面按前后次序排列连接起来后得到一个曲面，这个曲面称为的黎曼曲面，在这个曲面上是单值函数。

（5）函数是二值函数，和是它的两个枝点。取两个平面，按、的顺序迭叠起来，再将每一平面均沿正实轴割开，于是每一个这样割开的平面，沿正实轴有上下两岸，再将的下岸与的上岸相连接，而将的上岸与的下岸相连接，这样就构成了函数（即）的黎曼曲面。

代数函数：如果一个全局解析函数的所有函数元素在内满足关系，其中为不恒等于零的多项式，则称为代数函数。

解析延拓：对于完全解析函数及其定义域，设是中的任一点，且中有解析函数所对应的区域，则称是一个伯恩哈德·黎曼点。当中可能有很多个解析元素所对应的区域包有时，对于同一点，就可以有很多个黎曼点。考虑所有的点所对应的全体黎曼点的集合，对于中的任何两个黎曼点与，当且仅当，时，才认为这两个点相等，这样的集合称为完全解析函数的黎曼曲面。

性质1（黎曼曲面的等价定义）：黎曼曲面是代数函数的单值化区域。

将作变量变换写成的形式，是曲面上的变点，显然是单值函数，为此，函数自变量变化区域变得非常复杂，现值不得不使自变量在曲面上变化，因此，代数函数的黎曼曲面是这个函数的单值化区域。

性质2：代数函数的黎曼曲面没有奇点。

可分析如下示例：设，没有重根。即，这时。显然，，，，；若，则，；若，则，，那么是平面有限部分的唯一奇点。两个分支都是光滑函数，在绕点一周时（是常数，），分支和交换位置：，可知黎曼曲面本身没有奇点，因为曲面是的光滑子流形。

性质3：代数函数的伯恩哈德·黎曼曲面是非紧致的。

把有理整函数按作幂级数展开：，其中系数是的有理整函数，可以推导上述结论。可通过下列方式对曲面进行紧致化处理：

（1）用两个球面的束扩大后，就使紧致化为，同时，代数函数（多项式无重根）的黎曼曲面紧致化为紧致光滑闭二维流形。

（2）设，多项式没有重根，则代数函数的黎曼曲面的紧致化（带有“粘合的无穷远点”）同胚于带有个柄的球面（表示整数部分），即型流形，。如果阶数为奇数，这个曲面在紧致化的中的浸入是嵌入；如果阶数是偶数，则是粘合两个点（在不同的叶和上）的浸入。

对于开黎曼曲面，下列三个条件等价：

（1）格林函数存在（对任何点存在）；

（2）调和测度存在（对的任何具有内点的紧集存在）；

（3）最大值原理不成立（对任何紧集不成立）。

（1）双曲型：满足上述三条件之一的开黎曼曲面，例如，平面上的单位圆。

（2）抛物型：不满足上述三个条件的开伯恩哈德·黎曼曲面。换句话说，对于抛物型黎曼曲面，格林函数和调和测度均不存在，但是最大值原理成立，例如，复平面。

（3）椭圆型：即为紧黎曼曲面。

黎曼映射定理是一个关于复平面上单连通区域共形映射的基本定理，也是推导单值化定理的必要条件，可表述为：

设是复平面内的单连通区域，其边界至少含有两个不同的点。任意给定一点，则存在唯一的单叶解析函数，它将区域一一地共形映射为单位圆，使得。

单值化定理是黎曼曲面理论中基本的定理，表明大多数的情形下，黎曼曲面共形等价于单位圆对某个富克斯群的商空间，因此黎曼曲面上的解析函数论等价于定义在上的对某个富克斯群自守的函数论。反之，整个黎曼曲面理论也能以整个特殊的表示为基础进行讨论。定理表述为：

任一黎曼曲面必共形等价于下述典型曲面之一：

（1）扩充复平面；

（2）复平面；

（3）穿洞的复平面；

（4）环面，即，表示整数集；

（5）单位圆对某个富克斯群的商空间。

黎曼—罗赫定理是一个有关在紧伯恩哈德·黎曼曲面上，零点与极点满足某种条件的亚纯函数所组成的向量空间的维数的定理，有一些重要的推论。定理可表述为：

设是一个给定的除子，考虑紧黎曼曲面上一些亚纯函数构成的线性空间。另外，考虑紧黎曼曲面上的亚纯导数的向量空间。伯恩哈德·黎曼—罗赫定理断言，其中，而表示空间的复维数。

同构：一个与间的双射是一个对于代数运算与来说的，与之间的同构映射。假如在之下，不管，是的哪两个元，只要就有。假如在与间，对于代数运算与来说，存在一个同构映射，则对于代数运算与来说，与同构，可表示为。

自同构：对于与来说的一个与间的同构映射叫做一个对于来说的的自同构。

一个黎曼曲面的自同构是该曲面到自身的双全纯映射。自同构复合仍然是一个自同构，并且每个自同构都有逆映射，再加上最平凡的单位映射也是一个自同构，从而一个黎曼曲面所有的自同构有一个群结构，把这个群称为的全自同构群，记为，而它的子群则称为的自同构群。经典实例如下：

（1）黎曼球上的自同构都是形如的形式，其中，称这些自同构为黎曼球上的分式线性变换；

（2）复平面上的自同构都是形如的形式，其中，称这类自同构为复平面上的线性变换；

（3）单位圆盘上的自同构都是形如的形式，其中，称这些自同构为上的莫比乌斯（Möbius）变换；

（4）上半平面双全纯同构于单位圆盘，同构于，其中是上二阶特殊线性群，是二阶单位矩阵。

在工程技术领域，电液伺服阀作为电液伺服控制系统的核心电液转换元件，其性能可直接影响整个控制系统的精度和稳定性。但是，在动态特性处理阶段，往往存在分析难度。通过检验黎曼曲面的因果性，用它来分析数据，尽可能完成电液伺服阀动态数据处理，以数据处理最小化为目标，可以进行电液伺服阀动态特性的分析。

在声学中，有些声场波导的特征函数是多值的复函数，而黎曼曲面是分析这类函数的有力工具。例如，浸在流体中的板状波导的特征函数是波导传播方向的波数的多值函数，在固体介质中板状波导的特征函数是固体中纵波和横波波数的多值函数。这两类特征函数都可以利用拓扑变换得到黎曼曲面，有助于深入分析波导声场。

由于信息技术的发展，黎曼曲面也逐渐受到建筑设计师的青睐，他们使用参数平台和数字化建筑技术，以其独特的自然规律和复杂的艺术节奏形式，将黎曼曲面引入建筑设计艺术领域。例如，台中大剧院完全抛弃了传统梁板柱的建筑体系，采用类似于黎曼曲面的螺旋面进行造型；伦敦科学数字博物馆是根据航空工程中的气流公式画出类似于黎曼面的空气流线，以形成的漩涡流线形式进行设计。设计因素的介入，使黎曼曲面这一数学界特殊的几何曲面，形象地呈现在人们眼前。

在测绘领域中，等角投影是一类重要的投影，基于黎曼曲面理论为等角投影统一模型提供了数学理论的支撑，克服现有等角投影分带、奇异的弊端。而大多数等角投影都可以归结为单值化定理，常用等角投影亏格为的黎曼面映射之间的映射，高斯投影都可以看成亏格为的黎曼面，即椭圆函数。因此，黎曼曲面与地图投影具有内蕴关系，基于黎曼曲面理论将等角投影推广到一般曲面，可以简化投影模型。