柯西-施瓦茨不等式（英文：Cauchy-Schwartz inequality）也称柯西不等式，即如果为任意实数，则有，当且仅当(为常数)时等号成立。

柯西-施瓦茨不等式最早是在1821年由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）提出。俄国数学家布尼亚科夫斯基（俄语：Виктор Яковлевич Буняковский）和德国数学家赫尔曼·施瓦茨（德语：Hermann Schwarz）分别在1859年和1884年独立地提出柯西-施瓦茨不等式的积分形式。柯西-施瓦茨不等式也得到了更多的推广和不同学科领域的发展。

柯西-施瓦茨不等式有许多形式，积分形式的不等式也叫柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式。还有向量、点积、概率形式的柯西-施瓦茨不等式。一般形式的柯西-施瓦茨不等式可以推广成赫尔德不等式（英文：）、闵可夫斯基不等式（英文：Minkowski's inequality）、卡勒博不等式（英文：Callebaut's Inequality）等。

柯西-施瓦茨不等式在数学领域有广泛的应用，可以利用它来证明恒等式、解方程、证明不等式、求极值等，概率论中可以推出相关系数的性质。柯西-施瓦茨不等式也可以应用到数据分析领域，无论是在最佳样本量的估计或是在时间序列的分析上都有应用。

设为任意实数，则有，当且仅当(为常数)时等号成立。

上述不等式被称为柯西-施瓦茨不等式（英文：Cauchy-Schwartz inequality）。

1821年法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（法语：Augustin-Louis Cauchy）在他的著作《分析课程第一部分：代数分析》（法语：Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique）中的《关于在"\u003e"或"\u003c"上使用 "和 "号所产生的公式，以及几个量之间的平均数》（法语：Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur \u003e ou \u003c, et sur les moyennes entre plusieurs quantités）中首次写下并证明了一般形式的柯西不等式。

俄罗斯数学家布尼亚科夫斯基（俄语：Виктор Яковлевич Буняковский）在1859 年首次发表了柯西不等式的积分形式。另一位德国数学家赫尔曼·施瓦茨（德语：Hermann Schwarz）则在1884 年发表了同样的积分推广形式的柯西不等式，但是他没有提到布尼亚科夫斯基的著作。

由于两位数学家在柯西不等式的推广上做出了卓越贡献，柯西不等式的积分形式也叫作柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西-施瓦茨不等式。虽然布尼亚科夫斯基在积分形式的柯西不等式的陈述和证明上早于施瓦茨，但施瓦茨对柯西不等式的点积形式、积分形式的证明等上取得了更多更大的成果，因此人们也把一般形式的柯西不等式称为奥古斯丁-路易·柯西施瓦茨不等式，布尼亚科夫斯基的名字就较少提及了。

，

从而，其中等号当且仅当时成立。

因为，所以移项可得。

当或时显然成立。当且时，则

所以。

其中等号成立的充分必要条件是且。

前式成立的充分必要条件是即与同号。后式成立的充分必要条件是

注意到与均为常数，故上式即为：。

又因与同号，故。

若不等式显然成立。

若中至少有一个不为0，则

又二次三项式，所以它的判别式

即。等号成立当且仅当时成立。

因为，所以。

利用基本不等式证明。如果或，由于全为实数，由此得出或，这时柯西-施瓦茨不等式等号成立。所以只需要讨论并且情况即可。

在这种情况下，取正数，使，对每个，式中等号当且仅当时成立。对求和，有

由于的取法，将使上式的右边变为，即有

等号成立条件由上知。

我们可以证明更强的不等式：。

当时，上式显然成立。当，上式即为。

假设时成立。那么当时

所以由数学归纳法，不等式对一切自然数成立。从而柯西-施瓦茨不等式成立。

当时，直接验证可得柯西-施瓦茨不等式成立。

假设当时，不等式成立，即，当且仅当时等号成立。

那么，当时，

当且仅当，即时成立。于是时，不等式成立。

从而对所有自然数，不等式都成立。由数学归纳法知，柯西-施瓦茨不等式成立。

对和，有如下的拉格朗日恒等式

移项即得柯西-施瓦茨不等式。

对于两个向量，，内积定义为：。

对任意实数和向量，有

于是判别式大于0，即

由的任意性，得

移项可得柯西-施瓦茨不等式成立。

令，，则对向量，我们有如下的余弦定理:

从而。

由，且等号成立当且仅当，即与平行，故柯西-施瓦茨不等式成立。

对于任意向量，有。当且仅当线性相关时，等号成立，即两个矢量的点积小于等于两个矢量的长度之积。

当向量线性相关时，与实内积空间的情形一样，可得

如果向量线性无关，则对于任意复数（因为向量形式多出现在向量空间中，所以需要考虑复数形式），有，从而

特别地，取，代入上式得

由此得出，。

余弦定理亦可证明，与一般形式的柯西-施瓦茨不等式的向量法证明类似。

从而，从而。

设是内积空间，则对有。

任取实数域上，则对任意，

设，取并代入上面等式右边，得

化简后即得，对于不等式显然成立。

对任意随机变量与都有。等式成立当且仅当。这里是某一个常数。

对任意实数，定义，显然对一切，因此二次方程或者没有实根或者有一个重根。所以判别式。移项即得不等式形式。此外，方程有一个重根存在的充要条件是。这时，因此。从而，移项即得。

若在上可积，则。若在上连续，其中等号当且仅当存在常数，使得成立（不同时为零）。

将等分，令，应用一般形式柯西-施瓦茨不等式，

令取极限，即证。

移项即得柯西-施瓦茨不等式。

设函数在区域内解析，为内一点，以为心作圆周，只要及其内部均含于，则有，其中。

这里先不加证明地写出柯西积分公式及解析函数阶导公式。

柯西积分公式：设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，则有

在柯西积分公式的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有

根据上述两个公式，则有

柯西不等式得证。

可见复变函数中的柯西不等式并不是一般形式的柯西不等式在复数域下的形式。两者形式完全不同。

赫尔德不等式（英文：）：设是正实数，是正实数，且，则。等号成立条件是成比例。

一般如下形式使用较多：设是两组正实数，是正实数且，那么有

。取等号的充分必要条件是。

赫尔德不等式也可推广到积分形式。

若，且，则有

。

一般如下形式使用较多：设，，则

等号成立当且仅当连续时，与成比例。

闵可夫斯基不等式（英文：Minkowski's inequality）：设都是正实数，，则

。等号成立条件是成比例。

卡勒博不等式（英文：Callebaut's Inequality）：对于实数列及，有

等号成立条件为。

例：已知，求证。

证明：由柯西-施瓦茨不等式得，当且仅当时取等号。此时，，即得证。

例：解方程

解：由柯西-施瓦茨不等式得

即。等号成立当且仅当，即时成立。

例：解方程组

解：原方程组可化为

运用柯西-施瓦茨不等式得两式相乘，得

当且仅当时取等号。故原方程组的解为。

例：，求证

证明：根据柯西不等式，得

即

等号成立的充要条件是。

例：已知：，求证：

证明：

因可知，又，从而可得

所以。

例：求函数的最大值，并问当为何值时，函数有最大值。

解：因为

所以，当时等号成立。

解得，函数有最大值。

例：如图，过内一点引三边的平行线，点都在的边上。表示六边形的面积，表示的面积。求证：

证明：设，则由于分别与平行，则

，

同理。所以

由柯西-施瓦茨不等式，得

即

从而，

所以。

例：已知1650个学生排成22行、75列，其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对。证明：男生的个数不超过928。

解：设第行的男生数为人，则女生数为人，依题意，可知

英文任意给定的两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生不超过11对，所以，所有性别相同的两人对的个数不大于，所以有，即。由柯西-施瓦茨不等式，得

所以，即，则男生的个数不超过928。

可用于计算一个距离是否满足距离空间的定义。

例：设是元实数组全体，定义，其中，。证明是一个距离空间。

证明：需要验证满足距离的三条公理。显然大于0且满足对称性。下面证明三角形不等式成立。由柯西-施瓦茨不等式得

设是任意三点，在上面不等式中令，则

即。所以是一个距离空间。

概率形式柯西-施瓦茨不等式可以直接得出相关系数的性质。

相关系数：

由，可得。

柯西-施瓦茨不等式在数据分析上也有应用。比如如果样本表达式合理，可以使用柯西-施瓦茨不等式估算最佳样本量。在概化理论最佳样本量估算中将样本方差参数和侧面水平数量相结合，组成柯西-施瓦茨不等式的形式，就可以得到带有样本量估算值的不等式，取等号时的解即为最佳样本量。也可以将柯西-施瓦茨不等式应用到时间序列的动力方程中，在测度链上对柯西-施瓦茨不等式进行推广。

可以利用柯西-施瓦兹不等式计算阻尼。这是利用点积的相关诊断特性,首先构造一个函数,将该函数与响应信号作内积运算,求内积模的最大值;然后利用柯西-施瓦兹不等式定理诊断阻尼比。