椭圆型偏微分方程（elliptic partial differential equation），简称椭圆型方程，是一类重要的偏微分方程。其一般形式为：

此处假定，系数A，B，C可以是，和的函数。

椭圆型偏微分方程的典型代表有拉普拉斯方程和泊松方程。

椭圆型偏微分方程分为线性和非线性两种，其解法多样，有分离变量法、特征线法、有限元法等等。

早在1900年D.戴维·希尔伯特（David Hilbert，1862~1943）提的著名的23个问题中，就有三个问题（第19、20、23问题）是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。

拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。

许多定常的物理过程，如稳定的热传导过程、牛顿引力理论及电磁理论中的位势、弹性薄膜的平衡、不可压流体的定常运动等，提出形如

（2-1）

的方程，称之为拉普拉斯方程。

容易得到方程（1）和的一些特解。由于方程是线性的，因此可以由已知的一些特解叠加而得到新的解。积分也是一种叠加。通过积分型叠加，便可得到方程（1）的如下的重要解：

（2-2）

式中S为一曲面，μ为定义在S上的连续函数。由（2-3）确定的函数u在S以外的地方满足方程（2-1）。

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是从法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。泊松方程为

在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。

如果没有f，这个方程就会变成拉普拉斯方程=0。

数学上，泊松方程属于椭圆型方程（不含时一次方程）。

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。

波动方程或称波方程（wave equations）是由麦克斯韦方程组导出的、描述电磁场波动特征的一组微分方程，是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。

波动方程抽象自声学、电磁学和流体力学等领域。历史上许多科学家，如让·达朗贝尔、莱昂哈德·欧拉、丹尼尔·伯努利和约瑟夫·拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d’Alember）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。

一维波动方程的形式与一维热传导方程式的类似，只需把关于时间变量的一阶导数换成二阶导数即可得到一维波动方程，即

这里假设波动方程描绘长度为1的振动弦的振动情形，在不振动的时候弦是水平放在装置上的（称之为弦的平衡态）。弦可以沿着铅直方向上下振动，表示t时刻弦在位置x处偏离平衡态的位移，表示t时刻弦在位置x处的运动速度，表示t时刻弦在位置x处张力的垂直分量。

边界条件表示弦在左端点是固定不动的（因为位移总为零）。同理，表示弦在右端点是固定不动的，边界条件则表示在右端点是自由的（受到的力为零）。因为是二阶偏微分方程，所以无论是未知函数还是初值都有两个，是弦的初始位移函数，是弦的初始速度函数。

形如（2-3）

的方程，若（αij（x））为正定的矩阵，则称为椭圆型的；若（αij（x）） 的最大特征值与最小特征值之比有界，则方程（8）称为一致椭圆型的。

二阶椭圆型方程的研究甚早，在50年代以前，对方程（2-3）的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果。在几十年的发展中，建立了各种解法，例如，绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法，等等。

绍德尔方法是建立在绍德尔估计之上的。设Ck+α表示k次连续可微且k阶导数α赫德尔连续的函数类，又设Ω是Rn中的C2+α区域，方程（2-3）的所有系数和自由项都属于Cα。所谓绍德尔估计，是指若方程（2-3）在Ω中有解u，并且，则

式中с是一个与方程（8）和区域有关的常数。

在上述假设下，由泊松方程具有解u以及一般一次方程的极值原理，当с≤0时可以得的估计。因此利用绍德尔估计和参数的连续开拓就可以证明方程（8）的狄利克雷问题的解的存在性。作为极值原理的一个直接推论：当с≤0时狄利克雷问题的解是惟一的。

泛函方法肇端于K.O.弗里德里希斯1934年关于对称椭圆算子半有界扩张的工作。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl），舍盖·索伯列夫（Серге́й Льво́вич Со́болев）、C.Γ.米赫林和М.И.维希克等人在40年代末期的进一步研究表明，解椭圆型方程的基本边值问题等价于解形如x＋AX＝ƒ的算子方程，其中A是希尔伯特空间的全连续算子。从而由泛函分析的里斯绍德尔理论得到椭圆型方程可解性的所谓“二择一原理”。

形如下面的方程组

（10）

，此处，对一切x∈Ω，一切ξ∈Rn-[0]，是最一般线性椭圆型方程组。这个定义是И.Γ.彼得罗夫斯基给出的。

对于如此广泛的方程组，有些人例如，L.赫尔曼德尔讨论过它的一般边值问题：

此处（x，D）是变系数的微分算子，nj与μ之间存在着某种关系。

这样的边值问题，一般经典的弗雷德霍姆备择定理不成立。维希克和L.尼伦伯格等人提出了一个子类，称之为强椭圆组，对于它的某些基本边值问题，弗雷德霍姆备择定理是成立的。

近年来，研究在流形上定义的椭圆算子的一大成就是阿蒂亚－辛格指标定理。

可按不同的方式对偏微分方程分类。首先，偏微分方程可以分为线性的和非线性的，这是针对方程中偏导数的系数。若一个方程是F和它的偏导数的线性组合，就成为线性偏微分方程。

第二种分类是与导数法中求几阶导数有关，若此方程中所有的偏导数是一阶的，则偏微分方程是一阶的，若偏导数都是二阶的，则偏微分方程是二阶的。

构造影响函数的方法有两种，一是镜像法，另一是分离变量法。下面所考虑的影响函数均可应用镜像法构造。

的影响函数：

其中是观察点M（x，y，z）与电荷所在的点P（）之间的距离。

v（M，P）在Σ曲面所限的体域T内处处正则且调和的函数。解为

。

的影响函数

其中为点M（x，y）与点之间的距离。

v（M，P）在D内处处正且调和的函数，其解为

。

的影响函数

其中为M（x，y，z）与点之间的距离，为点M（x，y，z）与之间的距离。

其解为

的影响函数

其中为点M与点P之间的距离，为点M与点P之间的距离，为点M与点之间的距离，点P与点关于球面r=R对称（如下图）其解为

这里S是球面r=R。

若引入以球心为坐标原点的球坐标系，则M点为，P点为又设矢径与的夹角为。这时

对球外问题的解为

式中点在球外，点在球内

的影响函数

其中点与点关于圆C对称。

为点与之间的距离，为点与之间的距离。问题的解为

对于圆外第一问题也可得类似的公式。

的影响函数

其中，为点与之间的距离，为点与之间的距离。问题的解为

。

1.圆域的狄利克雷问题

引进以圆心为极点的极坐标（），则拉普拉斯方程可写成

其解为

其解为

2.圆域的诺依曼问题

其解为

而外问题的解为

3.圆环域的狄利克雷问题

其中

问题的解为

设有二阶椭圆型偏微分方程

其中R是（x，y）平面上一个开的有界连通渠（区域），边界条件为

其中是区域R的边界，表示边界上的外法线方向导数。

为了作方程和边界条件的差分逼近，首先作矩形网格，即在平面上，作一组平行于坐标轴的直线：

记步长（不要求等距）为。

这些直线的交点称为网格节点，用逼近，用逼近R，其中是用线段链接适当的网格节点而成，又成为的边界。

对于的网格节点，如果它的相邻四点都属于或者，则有差分逼近式：

其中

，，，，，

，

等等。

有限元法首先成功地用于结构力学和固体力学，之后又用于流体力学、物理学和其他工程科学。现在，有限元法和差分法一样，已成为求解偏微分方程，特别是椭圆型偏微分方程的一种有效的数值方法。

差分法从定解问题的微分形式或积分形式出发，用数值导数或数值积分公式导出相应的线性代数方程组，有限元法则是从定解问题的变分形式出发，用Ritz-Galerkin 法导出相应的线性代数方程组，但基函数按特定方式选取。

有限元法的基本问题可归纳为：

（1）把问题转化成变分形式；

（2）选定单元的形状，对求解域作剖分；（一维情形的单元是小区间：二维情形的重要单元有两种，即四边形（矩形、任意凸四边形）和三角形；三维单元就更复杂多样了）；

（3）构造基函数或单元形状函数；

（4）形成有限元方程（Ritz-Calerkin方程），即线性代数方程组；

（5）提供有限元方程的有效解法；

（6）收敛性及误差估计。

特征线方法也是求解偏微分方程的一种基本方法。其本质是沿偏微分方程的特征线积分以使方程的形式简化，从而使其求解成为可能。它不仅适用于线性偏微分方程，而且也是求解非线性方程的一种有效方法。

拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果二元函数f（x，y）在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称f为区域Ω中的调和函数。通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。例如，n=2时，调和函数u（x，y）在某平面区域内满足方程。

若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式，即u（x，y）在圆心的值等于圆周上的积分平均值。

更一般地，圆内任何一点（0≤r\u003cR）处调和函数的值可以由泊松公式给出。

当偏微分方程的真解未知，或方程的部分系数、初边值条件及求解区域未知时，我们把这种问题称为偏微分方程反问题。椭圆型方程反问题的研究最早期是Hadamard在20世纪20年代研究线性偏微分方程Cauchy问题时提出的。苏联院士Tikhonov于20世纪40年代前率领他的研究小组对此问题的理论展开研究，最终在60年代提出了Tikhonov变分正则化方法，这种方法到目前为止仍然广泛使用。并于70年代出版了反演理论的经典专著《Solutions of Ill-posed Problems》。迭代正则化方法是关于反演理论和方法的另一个研究方向，近年来逐渐发展起来的方法有梯度型方法和Newton方法等。

中国最早是由中国科学院院士冯康先生于20世纪80年代初期所倡导的偏微分方程参数反演问题的研究。之后， 在相关的领域也展开了有关于椭圆型偏微分方程参数反演的理论和基本方法的研究。

偏微分方程反问题的求解已经发展了各种方法，诸如脉冲谱技术（PST）、广义脉冲谱技术（GPST）、最佳摄动量法、蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）、各种优化方法和正则化方法等。

生成结构化网格

微分方程网格生成方法是网格生成中的一类经典方法。这一类方法利用微分方程的解析性质，如调和函数的光顺性、变换中的正交不变性等，进行物理空间到计算空间的坐标转换，所生成的网格较代数网格光滑、合理，通用性强。微分方程网格方法根据所采用方程的不同，分为椭圆型方程方法、双曲型方程方法、抛物化方法等，其中椭圆型方程方法在实际工作中应用最为广泛。

椭圆型方程方法最早由Winslow在1967年提出，其后Thompson、Thames及 Martin 对该方法做了全面、系统的研究，并提出以他们三人命名的 TTM方法，开创了网格生成研究领域的新局面。

用椭圆型方程生成网格时，输入条件：计算平面上的ζ、η方向上的节点数和节点位置。在计算平面上网格都是均匀划分的；物理平面计算区域边界上的节点设置反映出对网格疏密布置的要求。输出结果：找出计算平面上节点坐标与物理平面上节点（x，y）之间的对应关系。

弹性力学基本方程

弹性力学问题可以归结为在一定边界条件下的求解偏微分方程，他的基本方程为一组椭圆型偏微分方程。弹性力学方程除了在一些比较简单的求解区域和边界条件的情况下，可以得到其解析解外，工程中遇到的大部分问题，都难以得到其解析解。为求解弹性力学方程，工程实际中广泛采用数值求解技术。

热传导方程

在描述热传导问题时，稳态的热传导方程：，是椭圆型的偏微分方程；而非稳态的导热方程：，是抛物型的偏微分方程。

刚性流体单相渗流基本方程式

对于刚性渗流问题，有

因此渗流物质守恒方程在非均质地层中的表达式为

这是一种椭圆型偏微分方程，是研究刚性渗流问题的一般方程。如果地层是均质的，粘度为常数，则上式可进一步简化为

这就是Laplace方程，是单相流体渗流方程的最简单形式