庞加莱猜想（Poincaré conjecture），是法国数学家亨利·庞加莱（Jules Henri Poincaré）提出的一个数学猜想，其内容是：“如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是三维圆球。”用数学语言可表述为：单连通的三维闭流形同胚于三维球面。2000年，庞加莱猜想被美国克莱数学研究所（Clay 数学 Institute）列为奖金各百万美元的“七大世纪难题”之一。

1904年，在一篇论文中提出了的猜想，在1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改。后来，这个猜想被推广至维空间，被称为“高维庞加莱猜想”。在此之后，不少数学家像阿尔弗雷德·怀特黑德（White-head）、宾（R.Bing）、赫尔曼·哈肯（Haken）、福里德曼（Freedman）和威廉·瑟斯顿（WilliamP.Thurston）等人都为证明庞加莱猜想付出了巨大的努力。2002年至2003年期间，俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼（Gigofi Perelman）先后写出了3篇文章，利用Ricci流证明法排除了奇点的干扰因素，证明了庞加莱猜想，因而获得了有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖。2006年6月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄罗斯和中国数学家30多年的共同努力，两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。

庞加莱猜想的证明不仅有助于人类更好地研究三维空间，促进了拓扑学的发展，还对物理学的发展产生了深远的影响，为探索宇宙的奥秘奠定了坚实的基础。

亨利·庞加莱先生猜想：一个封闭的三维空间，只要它里面所有的封闭曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。这是一个属于代数拓扑学的命题，也可以简单地表述为：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”后来，这一命题又被推广至高维的情况：“任何与维球面同构的维闭流形必定同胚于维球面。”

庞加莱猜想形象的比喻是：如果围绕一个苹果的橡皮带，那么可以既不扯断它，也不让它离开苹果表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎上，那么不扯断橡皮带或者离开轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的，因此说，苹果是“单连通的"，而轮胎面不是。

或者想象有一个球形的房子，这个房子没有窗户也没有门，并且墙壁是用钢做的，非常结实。再想象一只可以吹成任意形状的气球，这个气球的皮不仅不会被吹破，而且可以无限的变薄。然后将这个气球放进这个球形房子里，开始吹它，一直吹它，吹到最后会怎么样呢。亨利·庞加莱先生猜想，吹到最后一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有任何缝隙。

自伽利略·伽利莱和约翰尼斯·开普勒时代以来，物理学的最大成就就是通过诸如流形数学之类的各种数学工具成功描述了现实世界。按照物理学观点，任何事情都发生于三维空间的背景内（暂且撇开弦论专家们关于在可见三维空间之外还存在若干微小维度的猜想）。三维意味着确定一个粒子的位置需要三个数，例如在地球附近，这三个数可以是经度、纬度和高度。

在19世纪末，数学家们对三维流形已经了解很多，但有几个最基本的问题却被证实是最难的。研究流形的数学分支叫做拓扑学。早期拓扑学家曾致力于确定有多少拓扑相异的实体并试图表述它们的特征。对于二维实体（亦称为表面），这个问题的答案非常简单明了：它完全取决于一个表面有多少“柄”。

亨利·庞加莱是代数拓扑学这门数学分支的主要开创者。在1900年左右，他利用代数拓扑方法构想出衡量物体拓扑性质的方法，该方法称为同伦。为了确定某一流形的同伦，可以想象把一个闭合环圈嵌在该流形上，环圈可以以任意方式绕在该流形上。然后环圈只是旋转，而不能有任何一部分跑到流形之外，观察环圈是否总能收缩成一个点。例如在环面上就不行，因为环圈围绕着环面的圆周分布，它不可能收缩成一个点，最终它将被内环挡住。同伦就是描述环圈被挡住的所有不同方式的测度。在超球面上，无论环圈盘绕的路径多复杂，最终它总是能够解开，收缩成一个点，在这些变形过程中环圈可以穿过自身。亨利·庞加莱推测在它上面的任何一个环圈都能收缩成一点的唯一三维流形就是三维球面本身，但他无法证明这一点。

1904年，庞加莱在他发表的一组论文中最先提出了这一猜想，认为三维球面在三维流形中是独一无二的，其它任何三维流形都没有如此简单的特性。比三维球面复杂的三维流形，要么具有围墙般的边界，要么各个区域彼此间是多连通的。庞加莱猜想认为，三维球面是唯一不具备所有这些复杂因素的三维流形，因而任何与三维球面性质相同的三维物体，最终都可以变成三维球面的形状。

提出亨利·庞加莱猜想后，庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久，证明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始证明庞加莱猜想。在之后的几十年，不少数学家像阿尔弗雷德·怀特黑德（White-head）、宾（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊泽（Moise）和帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyri-akopoulos）等人都为证明庞加莱猜想付出了巨大的努力。

1958年，宾（RH Bing）证明了庞加莱猜想的一个弱版本：如果一个三维球体中包含紧凑三维流形的每条简单闭合曲线，则该流形与三维球体是同胚的。

英国数学家阿尔弗雷德·怀特黑德，他对庞加莱猜想产生了浓厚的兴趣，并一度声称自己完成了证明，但不久就撤回言论。但幸运的是，他发现了三维流形的一些有趣的特例，这些特例现在被统称为“怀特黑德流形”。另外一位希腊数学家帕帕奇拉克普罗斯，曾经因为证明了著名的“迪恩引理”而闻名于世，却失意于庞加莱猜想的证明上。据说他1976年去世前，仍在试图证明庞加莱猜想。他临终前把一叠厚厚的手稿交给一位数学家朋友，那位朋友翻了几页就发现了错误，但为了不让他失望离去，最终选择了没有告诉他实情。

虽然这一时期对庞加莱猜想的研究没有产生数学家们所期待的结果，但是却因此发展出了低维拓扑学这门学科。由于庞加莱猜想是几何拓扑研究的基础，越来越多的数学家投入到证明亨利·庞加莱猜想的队伍中去。

1960年美国数学家斯蒂芬·斯梅尔（smale）取得了第一个突破，他证明了庞加莱猜想对五维和五维以上的情形都是成立的，1981年美国数学家米尔顿·弗里德曼（Freedman）证明了存在着不是微分流形的四维流形，它的特殊情形就是四维庞加莱猜想，这样，所有大于三维的庞加莱猜想都被证明是成立的，但当初提出的那个三维球面猜想却依然悬而未决。

拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人决定突破思维定势的束缚，想到用其它工具。康奈尔大学的威廉·瑟斯顿（WilliamP.Thurston）就是其中之一，他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，提出“瑟斯顿几何表示猜想”，对所有可能的三维流形进行了完整的分类，而三维球面那种独一无二的简单性则构成了这个宏大分类系统的基础。瑟斯顿因此获得了1983年的菲尔兹奖。

到了20世纪90年代，美国数学家亚历山大·汉密尔顿利用非线性微分方程的方法研究几何结构，发展出了一套名为“Ricci流”的数学工具。使用这种工具可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形，从而解决三维庞加莱猜想难题。但使用“Ricci流”进行空间变换时，到后来总会出现无法控制走向的点，这些点叫奇点。如何掌握它们的动向是证明三维庞加莱猜想的关键。

就在庞加莱猜想的研究陷入停滞的几年以后，俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼找到了解决这个问题的另一途径。他在论文中给“Ricci流”方程增添了新的一项。修改后的方程并未消除奇点带来的麻烦，但它使佩雷尔曼得以把分析向前推进了一大步。对使用“Ricci流”可能出现的“哑铃奇点”，佩雷尔曼证明了可以动一下“手术”，即把刚出现的收缩点每一侧上的细管剪断，然后用球形帽把每个哑铃球的细管开口封住。这样，“Ricci流”又可以在手术改造后的流形上继续进行下去了。到下一个收缩点出现时，又可以如法炮制，对它进行同样的改造。另外，针对汉密尔顿提出的“Ricci流”可能会在一根细棒从流形中伸出时产生名为“雪茄奇点”的问题，佩雷尔曼证明了“雪茄奇点”不可能出现。通过这种方法，任何三维流形都可以简化成由若干部分组成的集合，每一部分都具有一种均匀的几何形状。按照格里戈里·佩雷尔曼的观点，把“Ricci流”和手术运用于所有可能的三维流形上时，任何同三维球面同伦的流形最终必定变成与三维球面一样均匀的几何形状。这一结果意味着从拓扑角度看，该流形就是三维球面。换言之，三维球面是唯一的。而佩雷尔曼的结论到了这里，庞加莱猜想看来已经得到证明了。

2003年，召集和，承担解释的证明的工作。2006年6月3日，中国中山大学的朱熹平教授和中国旅美数学家、美国里海大学的曹怀东教授在《亚洲数学期刊》6月号上发表了《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明一汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》（AComplete Proof of the Poincare and Geometrization Conjec-tures一application of the Hamilton-Perelman theary of the Ricci flow）。他们运用亚历山大·汉密尔顿、格里戈里·佩雷尔曼的理论，第一次成功处理了猜想中“奇点”的难题，给出了庞加莱猜想的完全证明，完成了庞加莱猜想证明的最后“封顶”工作。此外，密思根大学的布鲁斯·克莱纳（Bruce Kleine）和约翰·洛特（John Lott）发表了对佩雷尔曼的论文逐行加以详解的《佩雷尔曼论文注释》（Notes on Perelman's Papers）；还有麻省理工学院的田刚和哥伦比亚大学的约翰·摩根（John Morgan）在格里戈里·佩雷尔曼论文的基础上合作撰写了有关庞加莱猜想的书。佩雷尔曼由于在证明庞加莱猜想过程中发挥了最为重要的作用，因此获得了2006年的菲尔兹奖。

庞加莱猜想的数学表述为：单连通的三维闭流形同胚于三维球面。

拓扑流形是指：若空间中的每一点都有一个开邻域使得和维的欧氏空间中的一个开子集是同胚的，即为同胚，则称为一个维的拓扑流形，简称流形。

没有边界点的紧致连通曲面称为闭曲面。、、射影平面和瓶都是闭曲面。、、平环和带不是闭曲面，因为它们没有边界点。闭曲面可分为可定向闭曲面和不可定向闭曲面。和不重复地列出闭曲面的所有拓扑类型，庞加莱猜想研究的闭曲面为三维球面。

微积分的介值定理依赖于闭区间推广到拓扑空间，建立介值定理的拓扑性质被称为连通性。直观上，如果图形不能分割成互不粘连的部分被称为连通的，例如为一整体，而不能构成整体。

为拓扑空间，如果，则称为非连通的拓扑空间。如果不是非连通的，就称它为连通的拓扑空间。

为拓扑空间，，如果连续映射使得，称为中连接点的一条道路。如果对于中任意两点，在中都有一条连接它们的道路，就称为道路连通的。道路是代数拓扑学中的一个重要的基本概念，是建立基本群的基础。

为拓扑空间，，在中的连通分支是指包含点的所有连通子集的并。

为拓扑空间，是的道路连通子集。如果不是的另一道路连通子集的真子集（为最大性），则称是的道路连通分支。显然，拓扑空间的每一非空道路连通子集必落在一个道路连通分支中，划分为若干个两两不相交的道路连通分支。

设为拓扑空间，映射是一一在上的，且与其逆映射都是连续的，则称为同胚映射或拓扑映射。如果存在一个同胚映射是一一在上的，则称拓空间和是同胚的，记作。在任一同胚映射下保持不变的性质，称为拓扑性质。拓扑学的主要任务是研究空间的同胚与空间的拓扑性质。

将3为推广到多维，可以得到高维庞加莱猜想：任何维闭流形如果与超球面同伦等价，则与维球面同胚。高维庞加莱猜想有一个更为简单易懂的说法：任何连通的闭流形一定与维球面同胚。这里连通是单连通的推广。单连通是指流形中每个圆圈都能在流形上连续变形缩为一点，连通则是指流形中的都能在流形中连续变形缩为一点。

20世纪中叶，基本群研究取得了进展，流形的基本群可以用数学上的结构来表示。它们通常由一系列基本形状，如多边形、网格···组成，以及一组特定的变换，如旋转、缩放、伸展等组成。这些基本形状的变换可以构成流形的基本群，这样，可以将流形的构造和表示完全抽象出来，通过群的理论研究流形的问题。在了解基本群与一般流形研究的紧密联系后，人们发现庞加莱猜想在高维流形上的研究要比三维容易。1960年，斯蒂芬·斯梅尔（S.Smale）成功证明了五维和五维以上的流形。而后，斯塔林格斯（J.Stallings）证明了不低于七维的流形上庞加莱猜想成立，泽曼（C.Zeemall）证明了五维和六维的流形。费里德曼（M.Freedman）1981年证明了四维的流形，对于庞加莱猜想的证明只剩下三维情况了。

汉密尔顿教授所创造的Ricci流方法，是基于李伟光—丘成桐不等式的微分方程。他的方程形式为：，可以实现将几何空间中的凹凸状物和不规则形状变得光滑而均匀，类似平均化的过程。在Ricci流流动的过程中，曲率大的区域其曲率会逐渐地变小，最终达到整体曲率均匀，整个曲面也如同球面。但有些凸状物却比较顽固，不易被抚平，会出现尖刺和折叠，数学上称之为“奇点”。

Ricci流奇点的瓶颈和退化瓶颈都可以用拓扑手术的方法消除。但是还有一种可能性无法排除，当某种瓶颈用拓扑手术消除以后，会产生曲率塌陷。大部分奇点都可以利用约翰·米尔诺引入的割补手术法等方法除去，唯独一种像雪茄一般凸状物的奇点例外，它会不受控制地变大。亚历山大·汉密尔顿指出，“雪茄”型奇点的出现意味着利用Ricci流不可能达至均匀态的几何球面，是证明庞加莱猜想最大的障碍。反过来，如果能证明这些雪茄型奇点永远不会出现，那么也就能证明庞加莱猜想了。

格里戈里·佩雷尔曼在他的《里奇流中的公式及其几何应用》《在三维流形上带割补手术的里奇流》《在某些三维流形上里奇流的有限消亡时间》三篇论文中，证明了最棘手的雪茄型奇点不会在Ricci流中出现，并且引入了新的方法来控制奇点。

佩雷尔曼分别使用到了两个方法，一个是逆向标量热方程的熵，来自对共轭热方程的李-丘微分型哈纳克不等式的积分；另一个是路径积分，来自同样的哈纳克不等式的最优李-丘路径积分。他所使用的熵，能使空间保持朝向几何化运动，同时也控制住了塌陷区域的大小和形状。接着，他用路径积分引入了一个时空距离函数，用来验证一般的非塌陷条件。格里戈里·佩雷尔曼用这两个方法对Ricci流证明了一个关键的有限时间内非塌缩估计，并且这个估计对任何维数都适用。当维数等于3时，正好排除了雪茄型奇点，而剩下的奇点可以利用连通和分解来去除。

格里戈里·佩雷尔曼的方法，不仅证明了庞加莱猜想，同时也证明了瑟斯顿几何化猜想，后者比前者更为广泛，把前者包含了进去。瑟斯顿几何化猜想是将三维空间细分为八类具均态几何的基本形状，而球面是其中一类。

基于庞加莱猜想的破解，对物理和数学界都有很大贡献，在三维空间的解决方面，这个猜想取得了第一个也是关键性的成果，它对于其他三维问题的解决、今后迈入宇宙的四维空间、一些空间科学包括黑洞等都将有很大用处。

庞加莱猜想是被称为“拓扑学”（topology）的几何学领域里的问题，也是促使数学新领域大步发展的超级难题。庞加莱猜想属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，它的证明及其发现的结果会加深数学家对流形性质的认识，促进了拓扑学的发展。

斯蒂芬·霍金关于宇宙开端之前无时间的证明不漂亮，也不完备，借助空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的庞加莱猜想嫡流，在一个三维空心圆球上，用一条封闭的曲线把球分成两半，先把一半收缩成局部平面，组成圆球内外对称图相的翻转，可证这类对称中隐含不对称的轨道交流，必经庞加莱猜想球点自旋的复杂程度概率阻断。亨利·庞加莱的这种系统属于完全规则和完全混沌之间的一种中介情况。

对于物理学，庞加莱猜想将热力学与量子论、相对论、弦律相联系。在研究空心圆球内表面翻转成外表面的“转点”庞加莱猜想球模型中，玻尔兹曼常数与普朗克常数对应，量子频率与量子复杂程度对应；玻尔兹曼常数可以看成是时空与质能进入三维势阱的尺度，普朗克常数则可以看成是时空与质能进入高维势阱的尺度。微观状态能量及频率公式以玻尔兹曼常数尺度的气体压力、温度，代替对一升气体分子熵运动的描述，微观状态马克斯·普朗克尺度的量子能量、频率，也用来可简并联系到对单个“庞加莱猜想球点”的复杂程度值的描述。而且能量和频率是同一种东西，从频率是一种周期运动看，这与自旋能用周期运动描述是一致的。

儒勒·亨利·庞加莱（法语：Jules Henri Poincaré）（1854年4月29日—1912年7月17日）是法国数学家，理论物理学家，工程师和科学利奥六世。他在数学上被称为“最后的普遍主义者”，因为他一生中都擅长于该学科的所有领域。

他于1892年发表了题为《论位置分析》的短文，然后于1895年发表了题为《位置分析》（Analysis Situsin）的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至包括上同调；建立了对偶定理和长城欧拉亨利·庞加莱公式。随后到了1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形。他的研究涉及数论、代数、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中之一。

理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton，1943—），国际著名数学家，1966年在美国普林斯顿大学获得博士学位。1982年，他创建的Ricci流方程及其理论，成为几何分析领域中最重要的方法之一，并提出用其作为破解庞加莱猜想的解析方法，也因此以“Ricci流之父”誉满数学界。

汉密尔顿教授对庞加莱猜想的解释是：每个单连通紧致三维流形都同胚于球面。他表示用分析方法研究庞加莱猜想已经有很长的历史。最早起源于雅玛得（Yamabe），他试图在流形上附加一些好的度量。接下来的发展则是Ricci流理论的出现。“Ricci流”是指黎曼流形上的一类热传导方程式。在流形上给定一个度量，用Ricci流发展方程加以改进，流形的曲率也随之伸展。在其他数学家的提示下，他发现三维流形上的Ricci流将会产生瓶颈（neckpinch）现象，并把流形分解为一些连通的片，所以可以用来证明庞加莱猜想。

格里戈里·佩雷尔曼（英语：Grigori Perelman，俄语：Григорий Яковлевич Пер云杉属ман），俄罗斯数学家，Ricci流专家。格里戈里·佩雷尔曼1966年出生于圣彼得堡，16岁获得了国际奥林匹克数学竞赛的金奖，毕业于圣彼得堡国立大学，获得数学博士学位，后在圣彼得堡科学院斯提克罗夫数学研究所工作。

佩雷尔曼最杰出贡献是突破性地证明了拓扑学中的庞加莱猜想。佩雷尔曼从1994年起就开始研究这个猜想。他最后使用的方法，是在美国数学家R.汉密尔顿开发的里奇流（Ricci flow）的基本理论的基础上，他完全理解了里奇流中奇点的形成，而且知道这个形状中的一部分是如何缩到低维空间的。他引入了一个新的量——熵，还引用了一个相关的局部是一一L泛函，利用P.S.阿纳托利·亚历山德罗夫等人发展的一些理论来理解空间在里奇流下变化的极限，并运用高度的数学技巧，即他所说的“带手术的里奇流”，从而成功地证明了庞加莱猜想。他的这项成就是三维拓扑中最深刻的结果。

由于格里戈里·佩雷尔曼成功地证明了庞加莱猜想，2006年国际数学联盟决定授予他费尔兹奖，但他拒绝领奖，他说：“如果我的证明是正确的，别的方式的承认是不必要的。”2010年3月，克莱数学促进会宣布，由于佩雷尔曼证明了庞加莱猜想，决定将100万美元奖金授予他，但佩雷尔曼至今未接受这一奖项。

此难题由苏格兰数学家W·霍奇在1950年提出。基本想法是在怎样的程度上，可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块黏合在一起来形成。这种技巧是如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。