抽象代数(abstract algebra)亦称近世代数，研究各种代数系的结构及其性质的分支学科。它是在初等代数基础上经过数系概念的推广与实施代数运算范围的扩大，从18世纪末萌芽到20世纪30年代，逐步形成现代数学的主要分支之一。抽象代数拥有各种不同的分支，如群、环、域、格、模(包括向量空间)、代数等。

公元 830 年，花拉子米首次提出“代数”概念，法国数学家韦达在1591年《分析法入门》中首次系统使用符号对未知量的值进行运算，规定代数与算术的分界。1797-1849年德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯先后五次证明代数基本定理，将代数推广到复数域和任意次数的方程。文艺复兴时期，代数作为学科创建完成。19世纪是抽象代数发展的创立期，由基灵(Killing,W.K.J.)、赫尔曼·外尔(Weyl,(C.H.)H.)和鑫当(Cartan,E.(-J.))等人建立系统理论。从20世纪40年代初开始，抽象代数进入新的阶段，成为抽象代数的活跃分支。

抽象代数学在密码学和计算机领域都有应用。现代密码学安全技术在设计上大量应用了数论、抽象代数等相关内容。在区块链技术中利用了哈希、加解密、签名、Merkle树数据结构等。计算机科学领域中，高等代数和一般抽象代数解决了个体对象为简单个体的论域上的大量运算问题。

抽象代数，也称近世代数，以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律，研究由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构(群、环、域、模、代数、格等)的性质为中心，是研究各种代数系的结构及其性质的分支学科。

它是在初等代数基础上经过数系概念的推广，与实施代数运算范围的扩大，从18世纪末萌芽到20世纪30年代，逐步形成现代数学的主要分支之一。抽象代数包括群论、环论和域论等分支。由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，而且代数结构及其元素具有很强的一般性，因此，抽象代数学的研究在整个数学中最具奠基性。抽象代数学的方法和成果也很容易渗透到一些与它相接近的各个不同的数学领域中，从而形成了一些有新面貌和新内容的边缘学科，比如代数数论、代数几何、拓扑代数、泛函分析等。抽象代数学对现代数学的发展发挥着极其基础性作用，被认为是现代数学的支柱之一。它在其他一些科学领域，比如理论物理、结晶学等学科，也有着非常重要的影响和作用。

公元 830 年，花拉子米首次提出“代数”的概念，法国数学家韦达在1591年的《分析法入门》中首次系统使用符号表示未知量的值进行运算，规定了代数与算术的分界。1637年，勒内·笛卡尔在《几何》中对前人使用的符号进行了改进。

此后德国约翰·卡尔·弗里德里希·高斯分别在1797、1799、1815、1816、1849年先后五次用不同的方法证明了代数基本定理，将代数推广到复数域和任意次数的方程。文艺复兴时期，代数作为一个学科创建完成。19世纪是抽象代数发展的创立期，由基灵(Killing,W.K.J.)、赫尔曼·外尔(Weyl,(C.H.)H.)和鑫当(Cartan,E.(-J.))等人的卓越工作才建立了系统理论。

1830年，年仅19岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦(Galois.E)彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数城的扩张、置换群、可解群等概念。1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，赫尔曼·格拉斯曼推演出更有一般性的几类代数。

后来，凯莱(Cayley.A.)在1854年的文章中给出有限抽象群：戴德金(Dedekind.J.W.R.)于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群：菲利克斯·克莱因(Klein.C.F.)于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉，然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与书伯(Weber,H.)在数学Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年书伯又给出无限抽象群的定义，由于李(Lie.M.S.)对连续群和弗罗贝尼乌斯(Frobenius.F.G.)对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响，同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念。1857年，凯雷设计出矩阵代数。1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；戴德金开始使用“体”的说法。1893年，马克斯·韦伯定义了抽象的体。19 世纪末和 20 世纪初，数学方法发生了转变。

1910年，施坦尼茨建立了关于体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论。抽象代数的一般理论建立。1926年，艾米·诺特完成了理想(数)理论。1930年，毕尔霍夫建立格论。抽象代数大约在 20 世纪初出现，被称为现代代数。1930年至1931年出版的范·德·瓦尔登独自撰写两卷专著《近世代数学》中，范德瓦尔登收集了许多域论中的定理。

从20世纪40年代初开始，抽象代数进入一个新的阶段，1945年，罗曼·雅各布森(JacobsonN.)引人根及本原环的理论，成为环论发展的新阶段，另一方面，作为线性代数推广的模论得到进一步发展并产生深刻影响，在20世纪20-30年代出现了以生成元及其定义关系所定义的无限群，经霍尔(Hall,P.)、马尔采夫(Mamaten.A.II.)等人的精彩工作，到20世纪40年代已形成独立体系。1955年，埃里·嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。截止到2022年，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构。

1962年，费特(Feit,W.)与汤普森(Thompson,J.G.)关于奇数阶群必为可解群的定理，是对有限单群分类的重大突破，从埃瓦里斯特·伽罗瓦引入置换群，其后证明A.(n~5)是单群到1981年有限单群分类的完全解决，经历了约150年之久，同期，李代数也得到深人发展，不仅推广到一般域，而且无限维李代数从20世纪60年代崛起，作为复单李代数推广的卡茨-穆迪代数就是卡茨(Kac.V.)与穆迪(Moody.R.)于1968年彼此独立建立的，它与理论物理有密切关系，而李群的深入发展派生出代数群，即群是代数闭城上仿射簇。代数群及其表示理论与多重线性代数、交换环论、代数几何、李代数等都有十分密切的联系，近年来已成为抽象代数的活跃分支。

抽象代数是研究以任意对象作为元素的集合赋予元素间的若干合成法则--即对集合中任意元素,有集合中惟一的元素与之对应——称为运算，并且这些运算满足于特定的一些条件——称为公理。随着集合所赋予的运算及其所满足的公理体系的不同而形成各种不同的代数系，如群、环、域、格、模(包括向量空间)、代数等。

群论（Group Theory）是代数的学科分支，它的研究对象主要是群的性质及结构。群是群论的核心概念，其被定义为：给定非空集合G，定义G上的代数运算“·”，其通常被称为乘法，若满足结合律，存在单位元和逆元素，称集合G在该代数运算下构成一个群，简称G为一个群。群具有单位元e唯一、逆元唯一以及满足消去律等性质，群包括置换群、循环群、对称群、二面体群、矩阵群等。

群的非空子集如果对于的运算也成一个群，则称为的子群。可简记为""。

设是的子群，是中的任意元素，则集合称为子群在中关于的右陪集。类似地，子群在中关于的左陪集可定义为。

设和是两个群，如果到有一个映射，使得对于中任意两个元素都有，则称是群到的一个同态映射，简称为“同态”。如果到有一个双射，使得对于中任意两个元素都有，则称群与 是同构的，记为,称是到的一个同构映射，简称为同构。

环（Ring）是一类包含两种运算(加法和乘法)的代数系统，是现代代数学十分重要的一类研究对象。其发展可追溯到19世纪关于实数域的扩张及其分类的研究。

环的理想(ideal of 戒指)是环论的基本概念之一。环 的非空子集,若(,)是(,)的子加群，并且对任意,恒有，则称为的左理想（右理想）。环的左理想与右理想统称为单侧理想。若既是的左理想又是右理想，则称为环()的理想。理想这一概念在环论中的作用，类似于不变子群概念在群论中的作用。

定义(域)若非空集合是一个交换环，且中的全体非零元组成一个乘法群，则称为域。

若一个偏序集中，任何两个元素都有唯一的最小上界和唯一的最大下界，则称该偏序集为格。

模定义：范畴 上的一个模(,,)，是由恒等函子：，两个自然变换与构成，并满足下图所示的交换图表。

是由数域上的“维向量”构成的集合，如果集合加法和数乘这两种运算封闭，那么就称集合为数域上的向量空间。

域扩张（英语：Field extensions）是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象，基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。

设和都是域，并且是的一个子环，则称是的一个子域(subfield)、称是的一个扩域(extensionfield)，或者称是的域扩张(fieldextension)、记作、的包含的任一子域称为的中间域(intermediate field)。

设是一个域，是到集合的双射，那么可以在上定义适当的加法与乘法运算，使成一个域，并且是一个域同构。

证明：在S上定义加法与乘法如下：

对任意的，

，其中

，其中

容易证明，S在上述加法和乘法下构成一个域，且为域同构。

设（）是一个有限群，（）是它的一个子群，则

这条定理说明群的子群的阶必定是群的阶一个因子。显然者群的阶是素数，它必定无真子群存在。

例子 设（）是有限群，是中任意元素，则的阶是的一个因子。

证明：设aG的阶为r，它可形成一个群的子群是

由Lagrange定理，是的因子。

Sylow定理是挪威科学家L.Sylow在1872年发现的，该定理提供了群的算术性质和结构性质之间的联系，它是有限群最基本的研究结果之一。Sylow定理不仅指出了一类子群的存在忙性，还讨论了这类子群的一些性质。Sylow定理在有限群的单性、可解性、共轭性、正规性、幂零性等许多力面都有着广泛的应用，因而Sylow定理是研究群论特别是有限群的重要工具。

关于有限群的子群存在Sylow定理。定理(Sylow)G是有限群，其阶，p，m互素，p是素数，则

1、群G中存在有t个Sylowp-子群，即阶为的子群，其中；

2、群G中所有Sylowp子群彼此共轭，即所有Sylowp子群组成一个共轭子群类。

《数学原理》是阿尔弗雷德·怀特黑德和伯特兰·阿瑟·威廉·罗素合著的三卷本巨作，史称“大《数学原理》”，主要是讲数理逻辑和数学基础问题。罗素是英国利奥六世和逻辑学家。怀特海是英国新实在论者的著名代表，他称自己主张的哲学为“有机哲学”(又称过程哲学)，它以机体为对象，研究“真正实体的生成、实在及其相互关系”。

范·德·瓦尔登的《近世代数学》著作为研究对象对象，分析和讨论了其主要内容和创新之处，一定程度上阐述了代数结构思想的含义，说明了范德瓦尔登的《近世代数学》是代数结构思想确立的标志。这对于代数结构思想的研究，乃至数学结构思想的研究都具有重要意义。

19世纪80年代中期，恩格斯根据当时的科学状况认为，数学的应用“在生物学中等于零”。到了20世纪，以分子生物学为标志，生物学实现了向理论科学的转变，它由观察描述生命的现象深入到探讨生命微观本质的新阶段，对数学的要求也随之更加迫切了。近几十年来，数学与生物学的结合，产生了数量遗传学、分子生物数学、生化数学等学科，早期大都使用微分方程、概率论和数理统计学等数学方法，现在则用到集合论、抽象代数、阵论、拓扑学等更加抽象、高深的数学理论。这样，就把对人类生命世界的认识提高到一个崭新的水平，将生物科学大大推向前进。

1855年，法国奥古斯特·布拉菲在几何结晶学基础上，借助于几何学解析几何学、群论和数学逻辑推理方法以及物理学发展所创造的条，推导出晶体的空间格子只有14种，为近代晶体结构学理论奠定了基础。1889年，俄罗斯费德洛夫推导出晶体结构的一切可能的对称形式，即230种空间群。此后，德国圣佛利斯等分别推导出相同的230个空间群，晶体结构的空间几何理论日趋完善。

抽象代数学的这些理论发展的同时，由于电子技术的发展和电子计算机的广泛应用，抽象代数学的一些成果和方法可直接应用到工程技术中，如代数编码学、语言代数学、代数自动机理论等新的应用代数学的领域相继产生和发展，同时它又是离散数学的重要组成部分，并对组合数学的突起和蓬勃发展产生重大影响，这些新的应用推动了近代应用代数的形成，发展与完善。

现代密码学安全技术在设计上大量应用了十分专业的现代数学知识，特别是数论、抽象代数等相关内容。在区块链技术中大量利用了现代密码学的已有成果，包括哈希、加解密、签名、Merkle树数据结构等。另一方面，区块链系统和诸多新的场景也对密码学和安全技术提出了很多新的需求，反过来也将促进相关学科的进一步发展。

计算机科学的理论学科形态是基于数学的，高等代数和一般抽象代数解决了个体对象为简单个体的论域上的大量运算问题，对具有结构特征和属性成分的复杂个体的论域上的运算问题，表达和处理是不方便的，常常是有困难的。目前，国内外大多数计算机科学与技术工作者数理逻辑基础知识涉及到命题演算、一阶谓词演算和少量的逻辑系统演算特征(范式部分)，抽象代数基础知识涉及群、环、域和格。